本篇简记四元数与三位旋转的相关内容，其中插值问题待后续展开。
三维空间旋转
考虑向量 $\mathbf{v}$ 关于轴 $\mathbf{u}$ 的 $\theta$ 度的旋转。 首先将 $\mathbf{v}$ 分解为平行于轴和垂直于轴的两个分量，分别处理其旋转问题。
\[\mathbf{v}=\mathbf{v}_\Vert+\mathbf{v}_\bot\]其中平行于轴的分量即为 $\mathbf{v}$ 在 $\mathbf{u}$ 上的投影，因此
\[\begin{aligned} \mathbf{v}_\Vert &=\text{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})\\ &=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}\mathbf{u} \quad(\lVert\mathbf{u}\rVert=1)\\ &=(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{u} \end{aligned}\]也不难得出
\[\begin{aligned} \mathbf{v}_\bot &=\mathbf{v}-\mathbf{v}_\Vert\\ &=\mathbf{v}-(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{u} \end{aligned}\]其次，对于 $\mathbf{v}_\Vert$ 而言不存在旋转，所以
\[\mathbf{v}^\prime_\Vert=\mathbf{v}_\Vert\]但对于 $\mathbf{v_\bot}$ 而言则略略复杂。 俯视其旋转平面，不难发现 $\mathbf{v}_\bot$ 的旋转轨迹是该平面上的一段圆弧。 为此需在右手系下引入另一向量构成旋转平面的基底，从而加以表记。
\[\mathbf{w}=\mathbf{u}\times \mathbf{v}_\bot\]若将 $\mathbf{v_\bot}$ 想象为平面的横轴，则由外积构造而来的 $\mathbf{w}$ 则正好为竖直向上的纵轴。 同时 $\lVert \mathbf{u}\rVert=1$，所以 $\lVert\mathbf{v}_\bot\rVert=\lVert\mathbf{w}\rVert$，则
\[\begin{aligned} \mathbf{v}^\prime_\bot &=\cos\theta\mathbf{v}_\bot+\sin\theta\mathbf{w}\\ &=\cos\theta\mathbf{v}_\bot+\sin\theta(\mathbf{u}\times\mathbf{v}_\bot) \end{aligned}\]统合上述结果
\[\begin{aligned} \mathbf{v}^\prime &=\mathbf{v}^\prime_\Vert+\mathbf{v}^\prime_\bot\\ &=\mathbf{v}_\Vert+\cos\theta\mathbf{v}_\bot+\sin\theta(\mathbf{u}\times\mathbf{v}_\bot)\\ \end{aligned}\]由于
\[\begin{aligned} \mathbf{u}\times\mathbf{v}_\bot &=\mathbf{u}\times(\mathbf{v}-\mathbf{v}_\Vert)\\ &=\mathbf{u}\times\mathbf{v}-\mathbf{u}\times\mathbf{v}_\Vert\\ &=\mathbf{u}\times\mathbf{v} \end{aligned}\]代入可得
\[\begin{aligned} \mathbf{v}^\prime &=(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{u}+\cos\theta(\mathbf{v}-(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{u})+\sin\theta(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\\ &=\cos\theta\mathbf{v}+(1-\cos\theta)(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{u}+\sin\theta(\mathbf{u}\times\mathbf{v}) \end{aligned}\]四元数定义
对于所有四元数 $q\in\mathbb{H}$，都可以写成如下形式
\[q=a+bi+cj+dk\quad(a,b,c,d\in\mathbb{R})\]其中$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$，因此四元数不满足交换律。 另外，出于表记方便，四元数也可记为如下形式
\[q=[s,\mathbf{v}]\quad(\mathbf{v}=(x,y,z)^T,s,x,y,z\in\mathbb{R})\]当 $s=0$ 时，$q$ 为纯四元数。 基于上述简单表记，可得四元数模长(normal)为
\[\lVert q\rVert=\sqrt{s^2+\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}\]对于 $q_1=[s,\mathbf{u}]$ 和 $q_2=[t,\mathbf{v}]$ 加减法可记为
\[q_1\pm q_2=[s\pm t,\mathbf{u}\pm\mathbf{v}]\]乘法则有
\[q_1q_2=[st-\mathbf{u}\cdot\mathbf{v},s\mathbf{v}+tu+\mathbf{u}\times\mathbf{v}]\]也叫做Graßmann积。当 $q_1=[s,\mathbf{u}]$ 和 $q_2=[t,\mathbf{v}]$ 均为纯四元数时
\[q_1q_2=[-\mathbf{u}\cdot\mathbf{v},\mathbf{u}\times\mathbf{v}]\]对于 $q=[s,\mathbf{v}]$，其共轭可定义为 $q^\ast=[s,-\mathbf{v}]$。验证可得
\[\begin{cases} qq^\ast=[s^2+\mathbf{v}\cdot\mathbf{v},\mathbf{v}\times-\mathbf{v}]=[s^2+\mathbf{v}\cdot\mathbf{v},0]=\lVert q\rVert^2\\ q^\ast q=\left(q^\ast\right)\left(q^\ast\right)^\ast=\lVert q^\ast\rVert^2=[s^2+(-\mathbf{v})\cdot(-\mathbf{v})]=\lVert q\rVert^2 \end{cases}\]因此 $qq^\ast=q^\ast q=\lVert q\rVert^2$。 在此定义任意四元数 $q$ 的逆为 $q^{-1}$，且满足 $qq^{-1}=1$。则可得
\[\begin{aligned} qq^{-1}=&1\\ q^\ast qq^{-1}=&q^\ast\\ q^{-1}=&\frac{q^\ast}{\lVert q\rVert^2} \end{aligned}\]特别地，当 $q$ 为单位四元数，即 $\lVert q\rVert=1$时
\[q^{-1}=q^\ast\]四元数与旋转
对于一般三维向量，可以将其视作一个纯四元数。
\[(a,b,c)\to[0,(a,b,c)^T]\]从而便可从四元数的角度重新讨论三维空间的旋转。 首先规定四元数 $v$ 为带旋转量，$u$ 为转轴。 则基于纯四元数乘法
\[\begin{aligned} uv_\bot =&[-\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}_\bot,\mathbf{u}\times\mathbf{v}_\bot]\\ =&[0,\mathbf{u}\times\mathbf{v}_\bot]\\ =&\mathbf{u}\times\mathbf{v}_\bot \end{aligned}\]结合 $\mathbf{v^\prime_\bot}=\cos\theta\mathbf{v_\bot}+\sin\theta(\mathbf{u}\times\mathbf{v_\bot})$ 可得
\[v^\prime_\bot=\cos\theta v_\bot+\sin\theta uv_\bot\]令 $q=\cos\theta+\sin\theta u$，则有 $v^\prime_\bot=qv_\bot$。 此外，由于 $u$ 为纯四元数，所以 $q=[\cos\theta,\sin\theta\mathbf{u}]$。 即得知转轴与转角后构造旋转四元数的方式。
加之 $\mathbf{v}$ 的平行分量并不存在旋转，即 $v^\prime_\Vert=v_\Vert$，因此
\[v^\prime=v_\Vert+qv_\bot\]同时，当 $q=[\cos\theta,\sin\theta\mathbf{u}]$，且 $\mathbf{u}$ 为单位向量时，易证
\[q^2=qq=[\cos(2\theta),\sin(2\theta)\mathbf{u}]\]则可对 $v^\prime=v_\Vert+qv_\bot$ 进行下一步变形。
\[\begin{aligned} v^\prime =&1\cdot v_\Vert+qv_\bot\\ =&pp^{-1}v_\Vert+p^2v_\bot \end{aligned}\]不难得知 $p=\left[\cos\left(\frac12\theta\right),\sin\left(\frac12\theta\right)\mathbf{u}\right]$， 且 $\lVert p\rVert=1$，即 $p^{-1}=p^\ast$。代入可得
\[v^\prime=pp^\ast v_\Vert+ppv_\bot\]在此将 $p^\ast$ 简记为 $[a,b\mathbf{u}]$，则有
\[\begin{aligned} p^\ast v_\Vert =&[a,b\mathbf{u}]\cdot[0,\mathbf{v}_\Vert]\\ =&[-b\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}_\Vert,a\mathbf{v}_\Vert+b\mathbf{u}\times\mathbf{v}_\Vert]\\ =&[-b\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}_\Vert,a\mathbf{v}]\\ v_\Vert p^\ast =&[0,\mathbf{v}_\Vert]\cdot[a,b\mathbf{u}]\\ =&[-v_\Vert\cdot b\mathbf{u},a\mathbf{v}_\Vert+\mathbf{v}_\Vert\times b\mathbf{u}]\\ =&[-\mathbf{v}_\Vert\cdot b\mathbf{u},a\mathbf{v}]\\ p^\ast v_\Vert=&v_\Vert p^\ast \end{aligned}\]同样的，简记$p$ 为 $[a,b\mathbf{u}]$，则有
\[\begin{aligned} pv_\bot =&[a,b\mathbf{u}]\cdot[0,\mathbf{v}_\bot]\\ =&[-b\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}_\bot,a\mathbf{v}_\bot+b\mathbf{u}\times\mathbf{v}_\bot]\\ =&[0,a\mathbf{v}_\bot+b\mathbf{u}\times\mathbf{v}_\bot]\\ v_\bot p^\ast =&[0,\mathbf{v}_\bot,a,-b\mathbf{u}]\\ =&[\mathbf{v}_\bot\cdot b\mathbf{u},a\mathbf{v}_\bot+\mathbf{v}_\bot(-b\mathbf{u})]\\ =&[0,a\mathbf{v}_\bot+b\mathbf{u}\times\mathbf{v}_\bot]\\ pv_\bot=&v_\bot p^\ast \end{aligned}\]综合上述两条结论，
\[\begin{aligned} v^\prime =&pp^\ast v_\Vert+ppv_\bot\\ =&pv_\Vert p^\ast+pv_\bot p^\ast\\ =&p(v_\Vert+v_\bot)p^\ast\\ =&pvp^\ast \end{aligned}\]此外，由于每个旋转四元数 $q=[a,\mathbf{b}]$ 的实部都是某个角度的余弦值，因此可以通过如下方式获得旋转轴。
\[\mathbf{u}=\frac{\mathbf{b}}{\sin(\cos^{-1}a)}\]另外，根据 $\cos(\pi-\theta)=\cos\theta$ 以及 $\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$ 可知， 四元数 $q$ 和 $-q$ 对应的是同一个旋转变换。换言之
\[(-q)v(-q)^\ast=(-1)^2qvq^\ast=qvq^\ast\]本文大量参考此教程。